Solving Trigonometric Expression: Sin 105°，在数学中，尤其是三角学中，求特定角度的正弦值是一个常见的问题。对于非直角角度，如105°，我们不能直接使用基本的正弦值表，但可以通过三角恒等式来计算。这篇文章将解释如何使用三角函数的角和公式来求解sin 105°的值。
一、利用三角恒等式
当我们遇到105°这样的角度，可以将其拆分为两个已知的特殊角度之和，比如45°和60°。因为105° = 45° + 60°，我们可以利用正弦的和角公式来简化计算：
(sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β)
在这个例子中，(α = 45°) 和 (β = 60°)，我们需要找到对应的正弦和余弦值来代入。
二、计算步骤
首先，找到45°和60°的正弦和余弦值： (sin 45° = frac{sqrt{2}}{2}) (cos 45° = frac{sqrt{2}}{2}) (sin 60° = frac{sqrt{3}}{2}) (cos 60° = frac{1}{2})
然后，代入和角公式： (sin 105° = sin(45° + 60°) = sin 45° cos 60° + cos 45° sin 60°)
计算具体的值： (sin 105° = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} + frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2})
化简得到： (sin 105° = frac{sqrt{2}}{4} + frac{sqrt{6}}{4} = frac{sqrt{2} + sqrt{6}}{4})
结论
所以，(sin 105°) 的值等于 (frac{sqrt{2} + sqrt{6}}{4})。这是一个精确的数值表达，如果你需要近似值，可以进一步将其化简为分数或者小数形式，但在这里我们保留了根号形式以保持理论上的精确性。
通过理解并应用三角函数的和角公式，我们可以解决这类非直角角度的正弦值问题，这对于解决更复杂的三角问题以及理解三角学的基本原理非常有帮助。